Тригонометрия Примеры

sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 1

Чтобы записать

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 2

Чтобы записать

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

12

$12$ , умножив на подходящий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 3.2

Умножим

4

$4$ на

3

$3$ .

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 3.3

Умножим

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Этап 3.4

Умножим

3

$3$ на

4

$4$ .

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем

3

$3$ влево от

π

$π$ .

sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

Этап 5.2

Перенесем

4

$4$ влево от

π

$π$ .

sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})

$\sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

Этап 5.3

Добавим

3 π

$3 π$ и

4 π

$4 π$ .

sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$

sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 6

Точное значение

sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$ :

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Представим

$\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Этап 6.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Этап 6.3

Заменим

$\pm$ на

$+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Этап 6.4

Упростим

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Этап 6.4.2

Точное значение

$\cos (\frac{π}{6})$ :

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.3

Умножим

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.3.2

Умножим

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ на

$1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.4

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 6.4.7

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.1

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Этап 6.4.7.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Этап 6.4.8

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Этап 6.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.9.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 6.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Десятичная форма:

$0.96592582 \dots$