Тригонометрия Примеры

$\sin (x + y) - \sin (x - y) = 2 \cos (x) \sin (y)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (x + y) - \sin (x - y)$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \sin (x - y)$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов.

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - (\sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y))$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Так как $\cos (- y)$ — четная функция, перепишем $\cos (- y)$ в виде $\cos (y)$ .

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y))$

Этап 4.1.1.2

Так как $\sin (- y)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- y)$ в виде $- \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y)))$

Этап 4.1.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - (\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - (\sin (x) \cos (y)) - (- \cos (x) \sin (y))$

Этап 4.1.3

Умножим $- (- \cos (x) \sin (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \sin (x) \cos (y) + 1 (\cos (x) \sin (y))$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $\sin (x) \cos (y)$ из $\sin (x) \cos (y)$ .

$\cos (x) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin (y)$

Этап 4.2.2

Добавим $\cos (x) \sin (y)$ и $0$ .

$\cos (x) \sin (y) + \cos (x) \sin (y)$

Этап 4.3

Добавим $\cos (x) \sin (y)$ и $\cos (x) \sin (y)$ .

$2 \cos (x) \sin (y)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (x + y) - \sin (x - y) = 2 \cos (x) \sin (y)$ — тождество