Тригонометрия Примеры

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 {sin}^{3} (x)

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

3 sin (x) - 4 {sin}^{3} (x)

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Этап 2

Вынесем множитель

sin (x)

$\sin (x)$ из

3 sin (x) - 4 {sin}^{3} (x)

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель

sin (x)

$\sin (x)$ из

3 sin (x)

$3 \sin (x)$ .

sin (x) \cdot 3 - 4 {sin}^{3} (x)

$\sin (x) \cdot 3 - 4 \sin^{3} (x)$

Этап 2.2

Вынесем множитель

sin (x)

$\sin (x)$ из

- 4 {sin}^{3} (x)

$- 4 \sin^{3} (x)$ .

sin (x) \cdot 3 + sin (x) (- 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$

Этап 2.3

Вынесем множитель

sin (x)

$\sin (x)$ из

sin (x) \cdot 3 + sin (x) (- 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

sin (x) (3 - 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

sin (x) (3 - 4 {sin}^{2} (x))

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

sin (x) (3 - 4 (1 - {cos}^{2} (x)))

$\sin (x) (3 - 4 (1 - \cos^{2} (x)))$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- {cos}^{2} (x)))

$\sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)))$

Этап 5

Упростим каждый член.

sin (x) (3 - 4 + 4 {cos}^{2} (x))

$\sin (x) (3 - 4 + 4 \cos^{2} (x))$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

sin (x) \cdot 3 + sin (x) \cdot - 4 + sin (x) (4 {cos}^{2} (x))

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 \cos^{2} (x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перенесем

3

$3$ влево от

sin (x)

$\sin (x)$ .

3 \cdot sin (x) + sin (x) \cdot - 4 + sin (x) (4 {cos (x)}^{2})

$3 \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Этап 7.1.2

Перенесем

- 4

$- 4$ влево от

sin (x)

$\sin (x)$ .

3 sin (x) - 4 \cdot sin (x) + sin (x) (4 {cos (x)}^{2})

$3 \sin (x) - 4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Этап 7.1.3

Перенесем

4

$4$ влево от

sin (x)

$\sin (x)$ .

3 sin (x) - 4 sin (x) + 4 sin (x) {cos (x)}^{2}

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

3 sin (x) - 4 sin (x) + 4 sin (x) {cos (x)}^{2}

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

Этап 7.2

Вычтем

4 sin (x)

$4 \sin (x)$ из

3 sin (x)

$3 \sin (x)$ .

- sin (x) + 4 sin (x) {cos}^{2} (x)

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

- sin (x) + 4 sin (x) {cos}^{2} (x)

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

Этап 8

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

- sin (x) + 4 sin (x) (1 - {sin}^{2} (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

- sin (x) + 4 sin (x) (1^{2} - {sin}^{2} (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x))$

Этап 9.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 1

$a = 1$ и

b = sin (x)

$b = \sin (x)$ .

- sin (x) + 4 sin (x) ((1 + sin (x)) (1 - sin (x)))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 9.3

Избавимся от скобок.

- sin (x) + 4 sin (x) (1 + sin (x)) (1 - sin (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Этап 9.4

Вынесем множитель

sin (x)

$\sin (x)$ из

- sin (x) + 4 sin (x) (1 + sin (x)) (1 - sin (x))

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель

$\sin (x)$ из

$- \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель

$\sin (x)$ из

$4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Этап 9.4.3

Вынесем множитель

$\sin (x)$ из

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Этап 9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (- 1 + (4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 9.6

Умножим

$4$ на

$1$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Этап 9.7

Развернем

$(4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Этап 9.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Этап 9.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 9.8

Объединим противоположные члены в

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Изменим порядок множителей в членах

$4 (- \sin (x))$ и

$4 \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \sin (x) + 1 \cdot 4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 9.8.2

Добавим

$- 1 \cdot 4 \sin (x)$ и

$1 \cdot 4 \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 0 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 9.8.3

Добавим

$4 \cdot 1$ и

$0$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 9.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Умножим

$4$ на

$1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 9.9.2

Умножим

$4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.2.1

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin (x) \sin (x))$

Этап 9.9.2.2

Возведем

$\sin (x)$ в степень

$1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Этап 9.9.2.3

Возведем

$\sin (x)$ в степень

$1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Этап 9.9.2.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 {\sin (x)}^{1 + 1})$

Этап 9.9.2.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin^{2} (x))$

Этап 9.10

Вынесем множитель

$4$ из

$4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) - 4 \sin^{2} (x))$

Этап 9.11

Вынесем множитель

$4$ из

$- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x)))$

Этап 9.12

Вынесем множитель

$4$ из

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin^{2} (x)))$

Этап 9.13

Применим формулу Пифагора.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cos^{2} (x))$

Этап 9.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1

Перепишем

$- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1.1

Перепишем

$4 \cos^{2} (x)$ в виде

${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) (- 1 + {(2 \cos (x))}^{2})$

Этап 9.14.1.2

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$\sin (x) (- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2})$

Этап 9.14.1.3

Изменим порядок

$- 1^{2}$ и

${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2})$

Этап 9.14.1.4

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = 2 \cos (x)$ и

$b = 1$ .

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1))$

Этап 9.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)$

Этап 10

Применим свойство дистрибутивности.

$(\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1) (2 \cos (x) - 1)$

Этап 11

Упростим каждый член.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x) - 1)$

Этап 12

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13.1.2

Умножим

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Умножим

$2$ на

$2$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13.1.2.2

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13.1.2.3

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13.1.2.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13.1.2.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13.1.3

Перенесем

$2$ влево от

$\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Этап 13.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot - 1$

Этап 13.1.5

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1$

Этап 13.1.6

Перенесем

$- 1$ влево от

$\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)$

Этап 13.1.7

Перепишем

$- 1 \sin (x)$ в виде

$- \sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Этап 13.2

Вычтем

$2 \sin (x) \cos (x)$ из

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 0 - \sin (x)$

Этап 13.3

Добавим

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ и

$0$ .

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$

Этап 14

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Этап 15.1.2

Умножим

$4$ на

$1$ .

$4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Этап 15.1.3

Умножим

$\sin (x)$ на

${\sin (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.1

Перенесем

${\sin (x)}^{2}$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} \sin (x)) \cdot - 1 - \sin (x)$

Этап 15.1.3.2

Умножим

${\sin (x)}^{2}$ на

$\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.2.1

Возведем

$\sin (x)$ в степень

$1$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1}) \cdot - 1 - \sin (x)$

Этап 15.1.3.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 - \sin (x)$

Этап 15.1.3.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{3} \cdot - 1 - \sin (x)$

Этап 15.1.4

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

Этап 15.2

Вычтем

$\sin (x)$ из

$4 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

Этап 16

Применим формулу тройного угла для синуса.

$\sin (3 x)$

Этап 17

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ — тождество