Тригонометрия Примеры

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2} = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x))}^{2}$

Этап 2.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ в виде $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.2

Развернем $(\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.3

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.8

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Этап 2.3.3.1.4.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.1.4.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ из $- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2 \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{2 \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos (x) (- 2 + \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \cos (x) \cdot - 2 + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.3

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \cos (x) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (x)$

Этап 3.3.4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель ${(1 - \cos (x))}^{2}$ и $1 - \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

${(\csc (x) - \cot (x))}^{2} = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ — тождество