Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{1}{\cot (x)} = \tan (x) + \cot (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{1}{\cot (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{1}{\cot (x)}$

Этап 2.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3

Упростим каждый член.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5

Упростим каждый член.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\tan (x) + \cot (x)$

Этап 7

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)$

Этап 7.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 8

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 8.2

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 8.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 9

Упростим каждый член.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{1}{\cot (x)} = \tan (x) + \cot (x)$ — тождество