Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1 = \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{1 - \sin (x)} - 1$

Этап 2.5

Умножим $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Этап 4.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель $1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Этап 4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} - 1$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\sin (x)}$ в виде $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1 = \csc (x)$ — тождество