Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{43 π}{12})$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{43 π}{12}$ можно разделить на $\frac{10 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{10 π}{3} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Используем формулу синуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{10 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\sin (\frac{10 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (\frac{4 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.5

Умножим $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.5.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.6

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (\frac{4 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.8

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.10

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - \sqrt{2}}{4}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - (\sqrt{2})}{4}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{6}) - (\sqrt{2})$ .

$\frac{- (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $- (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ в виде $- 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Этап 5.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.96592582 \dots$