Тригонометрия Примеры

$\cot (75)$

Этап 1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cot (30 + 45)$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\cot (30) \cot (45) - 1}{\cot (45) + \cot (30)}$

Этап 3

Точное значение $\cot (30)$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cot (45) - 1}{\cot (45) + \cot (30)}$

Этап 4

Точное значение $\cot (45)$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\cot (45) + \cot (30)}$

Этап 5

Точное значение $\cot (45)$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{1 + \cot (30)}$

Этап 6

Точное значение $\cot (30)$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 7

Упростим $\frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{1 + \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Этап 7.4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.5

Упростим.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.6.5

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.6.6

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Этап 7.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Этап 7.6.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Этап 7.7

Перепишем ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.8

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.9.1.2

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.9.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.9.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.9.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.9.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Этап 7.9.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Этап 7.9.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Этап 7.9.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Этап 7.9.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Этап 7.9.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Этап 7.9.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Этап 7.9.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Этап 7.9.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Этап 7.9.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.9.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.10

Сократим общий множитель $4 - 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 7.10.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Этап 7.11

Перепишем $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ в виде $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Этап 7.12

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Этап 7.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Этап 7.14

Умножим $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Этап 7.14.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Этап 7.15

Применим свойство дистрибутивности.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Этап 7.16

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$