Тригонометрия Примеры

\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)$

Этап 1

Вычтем

2 \csc (x)

$2 \csc (x)$ из обеих частей уравнения.

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель

\csc (x)

$\csc (x)$ из

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель

\csc (x)

$\csc (x)$ из

\sec (x) \csc (x)

$\sec (x) \csc (x)$ .

\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0

$\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель

\csc (x)

$\csc (x)$ из

- 2 \csc (x)

$- 2 \csc (x)$ .

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель

\csc (x)

$\csc (x)$ из

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2$ .

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Этап 4

Приравняем

\csc (x)

$\csc (x)$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

\csc (x)

$\csc (x)$ к

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

Этап 4.2

Множество значений косеканса:

y \leq - 1

$y \leq - 1$ и

y \geq 1

$y \geq 1$ . Поскольку

0

$0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Приравняем

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ к

0

$0$ .

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Этап 5.2

Решим

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

\sec (x) = 2

$\sec (x) = 2$

Этап 5.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из-под знака секанса.

x = arcsec (2)

$x = arcsec (2)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение

arcsec (2)

$arcsec (2)$ :

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.2.4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы записать

2 π

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Объединим

2 π

$2 π$ и

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 5.2.5.3.2

Вычтем

π

$π$ из

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 5.2.6

Найдем период

\sec (x)

$\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции

\sec (x)

$\sec (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$ верно.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$