Тригонометрия Примеры

cot (\frac{π}{12})

$\cot (\frac{π}{12})$

Этап 1

Разделим

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cot (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 2

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\cot (\frac{π}{4}) \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}$

Этап 3

Точное значение

$\cot (\frac{π}{4})$ :

$1$ .

$\frac{1 \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Точное значение

$\cot (\frac{π}{6})$ :

$\sqrt{3}$ .

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})}$

Этап 5

Точное значение

$\cot (\frac{π}{6})$ :

$\sqrt{3}$ .

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \cot (\frac{π}{4})}$

Этап 6

Точное значение

$\cot (\frac{π}{4})$ :

$1$ .

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 7

Упростим

$\frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим

$\sqrt{3}$ на

$1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

Этап 7.3

Умножим

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ на

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

Этап 7.4

Умножим

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ на

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$

Этап 7.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}$

Этап 7.6

Упростим.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 7.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Возведем

$\sqrt{3} + 1$ в степень

$1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 7.7.2

Возведем

$\sqrt{3} + 1$ в степень

$1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} {(\sqrt{3} + 1)}^{1}}{2}$

Этап 7.7.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1 + 1}}{2}$

Этап 7.7.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2}$

Этап 7.8

Упростим

${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перепишем

${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ в виде

$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 7.8.2

Развернем

$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 7.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Этап 7.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.8.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.8.3.1.2

Умножим

$3$ на

$3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.8.3.1.3

Перепишем

$9$ в виде

$3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.8.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.8.3.1.5

Умножим

$\sqrt{3}$ на

$1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.8.3.1.6

Умножим

$\sqrt{3}$ на

$1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2}$

Этап 7.8.3.1.7

Умножим

$1$ на

$1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Этап 7.8.3.2

Добавим

$3$ и

$1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.8.3.3

Добавим

$\sqrt{3}$ и

$\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.9

Сократим общий множитель

$4 + 2 \sqrt{3}$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.9.2

Вынесем множитель

$2$ из

$2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Этап 7.9.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Этап 7.9.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 7.9.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.9.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Этап 7.9.4.4

Разделим

$2 + \sqrt{3}$ на

$1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$3.73205080 \dots$