Тригонометрия Примеры

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\sin^{4} (x)$ в виде ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Этап 2.2

Перепишем $\cos^{4} (x)$ в виде ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin^{2} (x)$ и $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Этап 2.4

Применим формулу Пифагора.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Этап 2.5

Умножим $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 4

Вычтем ${\cos (x)}^{2}$ из $- {\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Этап 5

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 - 2 (1 - \sin^{2} (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 2 \cdot 1 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Этап 6.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$1 - 2 + 2 {\sin (x)}^{2}$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x)$

Этап 7

Перепишем $- 1 + 2 \sin^{2} (x)$ в виде $2 \sin^{2} (x) - 1$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$ — тождество