Тригонометрия Примеры

${(1 + i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5

Умножим $10$ на $1$ .

$1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.7

Умножим $10$ на $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.9

Умножим $10$ на $1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.10

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.11

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.12

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.13

Умножим $- 1$ на $10$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.14

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.15

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Этап 2.1.15.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Этап 2.1.15.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}$

Этап 2.1.16

Умножим $5$ на $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}$

Этап 2.1.17

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i$

Этап 2.1.18

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.18.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i$

Этап 2.1.18.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i$

Этап 2.1.18.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i$

Этап 2.1.19

Умножим $i$ на $1$ .

$1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $10$ из $1$ .

$- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 9$ и $5$ .

$- 4 + 5 i - 10 i + i$

Этап 2.2.3

Вычтем $10 i$ из $5 i$ .

$- 4 - 5 i + i$

Этап 2.2.4

Добавим $- 5 i$ и $i$ .

$- 4 - 4 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 4$ и $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Этап 6.3

Добавим $16$ и $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Этап 6.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Этап 6.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 4}{- 4}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{4}$ и $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$