Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (\frac{5 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $\frac{5 π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.7

Упростим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.7.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.7.1.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.6

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.2

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.7.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.8

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3} - 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9

Точное значение $\sin (\frac{5 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Разделим $\frac{5 π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.7

Упростим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.1.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.7.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.7.1.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.7.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.7.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.9.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 1.10

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.11

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.11.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{8}$

Этап 1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Этап 1.13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Этап 1.14

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Этап 1.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{4} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Этап 1.15.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Этап 1.15.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Этап 1.15.4

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{12}}{8}$

Этап 1.15.5

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.5.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{4 (3)}}{8}$

Этап 1.15.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{8}$

Этап 1.15.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.16

Сократим общий множитель $2 + 2 \sqrt{3}$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.16.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})}{8}$

Этап 1.16.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{8}$

Этап 1.16.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 (4)}$

Этап 1.16.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 1.16.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} - 1 + 1 + \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.2

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + 1 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.3.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Десятичная форма:

$0.86602540 \dots$