Тригонометрия Примеры

$\sin (x) \cos (2 x) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.3

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (x) - 2 \sin (x) \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.5

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.5.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + \cos (x) \sin (2 x) = 0$

Этап 1.6

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 1.8

Умножим $2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x) = 0$

Этап 1.8.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) \sin (x) = 0$

Этап 1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) = 0$

Этап 1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (2 \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) \cdot (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (2 \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cdot (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (2 \cos^{2} (x))$ .

$\sin (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ к $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим $- 2 \sin^{2} (x)$ на $- 2 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - 2 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 - 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$1 - 2 + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.3.2

Добавим $2 \cos^{2} (x)$ и $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 1 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.4

Упорядочим многочлен.

$4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 5.2.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 \cos^{2} (x) = 1$

Этап 5.2.6

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (x) = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (x) = 1$ на $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.6.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5.2.8

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.2.8.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.2.8.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.2.8.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Этап 5.2.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.9.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.11

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.2.11.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.11.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.11.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.11.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.11.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 5.2.11.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 5.2.11.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.11.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.12

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.12.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.12.4

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 5.2.12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 5.2.12.4.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.2.12.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.12.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.12.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.12.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.13

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.14

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.1

Объединим $\frac{π}{3} + 2 π n$ и $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.14.2

Объединим $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ и $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.2

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$