Тригонометрия Примеры

$1 + \sin (x) = 2 \cos^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1$

Этап 2

Возведем в квадрат обе части уравнения.

$\sin^{2} (x) = {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$

Этап 3

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Этап 4

Вычтем $\cos^{2} (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (2 x) = 0$

Этап 5

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = \cos (2 x)$ .

$(\sin (x) + \cos (2 x)) (\sin (x) - \cos (2 x)) = 0$

Этап 5.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - \cos (2 x)) = 0$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 5.3.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.4

Развернем $(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x))$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим противоположные члены в $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\sin (x) (2 \sin^{2} (x))$ и $- 2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin^{2} (x) \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.1.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ из $2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) + 0 - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.1.3

Добавим $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x))$ и $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.3

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.6

Умножим $2 \sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.9

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.9.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) = 0$

Этап 5.5.2.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 {\sin (x)}^{2 + 2}) = 0$

Этап 5.5.2.9.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 \sin^{4} (x)) = 0$

Этап 5.5.2.10

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Этап 5.5.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим противоположные члены в $\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Добавим $- \sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 0 - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Этап 5.5.3.1.2

Добавим $\sin^{2} (x)$ и $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Этап 5.5.3.2

Добавим $\sin^{2} (x)$ и $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Этап 5.5.3.3

Добавим $3 \sin^{2} (x)$ и $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 5 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Этап 6

Разложим $- 1 + 5 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок членов.

$- 4 \sin^{4} (x) + 5 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + 5 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.1.2.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$- 4 \sin^{4} (x) + (1 + 4) \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 \sin^{4} (x) + 1 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.1.2.4

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 4 \sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sin^{2} (x) (- 4 \sin^{2} (x) + 1) - (- 4 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Этап 6.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 4 \sin^{2} (x) + 1$ .

$(- 4 \sin^{2} (x) + 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(- 4 \sin^{2} (x) + 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 6.3

Перепишем $4 \sin^{2} (x)$ в виде ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$(- {(2 \sin (x))}^{2} + 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 6.4

Изменим порядок $- {(2 \sin (x))}^{2}$ и $1^{2}$ .

$(1^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 6.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 2 \sin (x)$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - (2 \sin (x))) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 6.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Этап 6.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Этап 6.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $1 + 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $1 + 2 \sin (x)$ к $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Этап 8.2

Решим $1 + 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 8.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 8.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Этап 8.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 8.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 8.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 8.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 8.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 8.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 8.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 8.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 8.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 8.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 8.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Приравняем $1 - 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $1 - 2 \sin (x)$ к $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Этап 9.2

Решим $1 - 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 9.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 9.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 9.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 9.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 9.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 9.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 9.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 9.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 10.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 10.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 10.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 10.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.2.7

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 10.2.7.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 10.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 10.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 10.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $\sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 11.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 11.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 11.2.4

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 11.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 11.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 11.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 11.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 14

Проверим каждое решение, подставив его в $1 + \sin (x) = 2 \cos^{2} (x)$ и решив.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$