Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.1.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.2

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.3

Добавим $\sin (x) \cos (x)$ и $\sin (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $- 1$ .

$\frac{2 \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.3.2

Вычтем $\sin (x) \cos (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.4

Добавим $2 \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ и ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Этап 7

Перепишем $\frac{2}{\sin (x)}$ в виде $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ — тождество