Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{π}{12})$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{π}{12}$ можно разделить на $\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

Этап 2

Используем формулу тангенса разности, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 5.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Этап 5.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 6

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Этап 7.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 8.5

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 8.6

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Этап 8.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Этап 8.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Этап 9

Перепишем ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 10

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 11.1.2

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 11.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Этап 11.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Этап 11.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Этап 11.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Этап 11.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Этап 11.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Этап 11.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Этап 11.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Этап 11.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Этап 11.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 12

Сократим общий множитель $4 - 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Этап 12.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Этап 13

Перепишем $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ в виде $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Этап 14

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Этап 15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Этап 16

Умножим $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Этап 16.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Этап 17

Применим свойство дистрибутивности.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Этап 18

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$