Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{4})$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{5 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\tan (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12})$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\tan (\frac{5 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\tan (\frac{20 π - π \cdot 3}{12})$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\tan (\frac{20 π - 3 π}{12})$

Этап 5.3

Вычтем $3 π$ из $20 π$ .

$\tan (\frac{17 π}{12})$

Этап 6

Точное значение $\tan (\frac{17 π}{12})$ : $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Представим $\frac{17 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\tan (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Этап 6.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.3

Change the $\pm$ to $+$ because tangent is positive in the third quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{17 π}{6})}}$

Этап 6.4.7

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}}$

Этап 6.4.8

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

Этап 6.4.9

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Этап 6.4.10

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Этап 6.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

Этап 6.4.12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Этап 6.4.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.13.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

Этап 6.4.13.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

Этап 6.4.14

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

Этап 6.4.15

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Этап 6.4.16

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 6.4.17

Упростим.

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Этап 6.4.18

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Этап 6.4.19

Развернем $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Этап 6.4.19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

Этап 6.4.19.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.4.20

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.20.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.20.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.4.20.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.4.20.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Этап 6.4.20.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Этап 6.4.20.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Этап 6.4.20.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Этап 6.4.20.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Этап 6.4.20.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

Десятичная форма:

$3.73205080 \dots$