Тригонометрия Примеры

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x))$

Этап 2.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Умножим $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Этап 2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\cos (x) + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\cos (x) + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Этап 4.2

Чтобы записать $\cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\cos (x)}$ в виде $\sec (x)$ .

$\sec (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec (x)$ — тождество