Тригонометрия Примеры

${(1 + i)}^{4}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.5

Умножим $6$ на $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.7

Умножим $6$ на $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.8

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

Этап 2.1.9

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Этап 2.1.10

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Этап 2.1.11

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

Этап 2.1.12

Умножим $- 1$ на $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

Этап 2.1.13

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Этап 2.1.13.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Этап 2.1.13.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $6$ из $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Этап 2.2.2

Добавим $- 5$ и $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Этап 2.2.3

Вычтем $4 i$ из $4 i$ .

$- 4 + 0$

Этап 2.2.4

Добавим $- 4$ и $0$ .

$- 4$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 4$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Этап 6.4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 4$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{- 4}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $π$ .

$θ = π$

Этап 9

Подставим значения $θ = π$ и $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$