Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) + \cot (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 8

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\csc (x) + \cot (x)$

Этап 9

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

Этап 9.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) + \cot (x)$ — тождество