Тригонометрия Примеры

$\sin (2 x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Этап 1.2

Умножим $2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Этап 1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Этап 1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \cos (2 x) \sin (x) = 0$

Этап 1.3

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + (1 - 2 \sin^{2} (x)) \sin (x) = 0$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

Этап 1.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) = 0$

Этап 1.6

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.6.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} = 0$

Этап 1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $2 \sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \cos^{2} (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)$ к $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим $2 \cos^{2} (x)$ на $2 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 \sin^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 3 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 5.2.3.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Этап 5.2.5

Разделим каждый член $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Разделим каждый член $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.2.5.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 5.2.7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.2.7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.2.7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.2.10.3

$x = π - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.10.4

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.10.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.10.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.10.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 5.2.10.4.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.10.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.11.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 5.2.11.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 5.2.11.4.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.2.11.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.11.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 5.2.11.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.11.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.11.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.11.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.6.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 5.2.11.6.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 5.2.11.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 5.2.11.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.12

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.13

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Объединим $\frac{π}{3} + 2 π n$ и $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.13.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.2

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$