Тригонометрия Примеры

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Этап 1

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 2

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс, чтобы решить уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Этап 3.3

Точное значение $\tan^{-1} (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 4

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Этап 4.3

Добавим $9$ и $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Этап 4.4

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$R = 3 \sqrt{2}$

Этап 5

Подставим известные значения в уравнение.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Этап 6

Разделим каждый член $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ на $3 \sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ на $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $\sin (x - \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.3.2.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 6.3.2.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 6.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.3.2.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Этап 6.3.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Этап 6.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Этап 9

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Этап 9.2

Добавим $0.23794112$ и $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $0.23794112$ из $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Этап 11.2.2

Добавим $2.90365152$ и $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Этап 12

Найдем период $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13

Период функции $\sin (x - \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , для любого целого $n$