Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{11 π}{12})$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{11 π}{12}$ можно разделить на $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Используем формулу косинуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{3})) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{3})$

Этап 4.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4.8

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.8.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.8.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.8.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ в виде $- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Этап 5.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.96592582 \dots$