Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.2

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3.1.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3.1.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3.1.4

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.4

Перепишем $\sin^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перегруппируем члены.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.4.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 + 2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.5.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $1 + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{2}{\sin (x)}$ в виде $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (x)$ — тождество