Тригонометрия Примеры

\sin (θ) = - \frac{1}{2}

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

\sin (θ) = \frac{противоположные}{гипотенуза}

$\sin (θ) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

Смежные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}

$Смежные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

Смежные = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$Смежные = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим знак

\sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ на противоположный.

Смежный

= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

Смежный

= - \sqrt{4 - {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{4 - {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

1

$1$ .

Смежный

= - \sqrt{4 + (- 1) {(- 1)}^{2}}

$= - \sqrt{4 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Смежный

= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}

$= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Смежный

= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}

$= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Этап 4.3.2

Добавим

1

$1$ и

2

$2$ .

Смежный

= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}

$= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}$

Смежный

= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}

$= - \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}$

Этап 4.4

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

3

$3$ .

Смежный

= - \sqrt{4 - 1}

$= - \sqrt{4 - 1}$

Этап 4.5

Вычтем

1

$1$ из

4

$4$ .

Смежный

= - \sqrt{3}

$= - \sqrt{3}$

Смежный

= - \sqrt{3}

$= - \sqrt{3}$

Этап 5

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение

\cos (θ)

$\cos (θ)$ .

\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение

\tan (θ)

$\tan (θ)$ .

\tan (θ) = \frac{opp}{adj}

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

\tan (θ) = \frac{- 1}{- \sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- \sqrt{3}}$

Этап 6.3

Упростим значение

\tan (θ)

$\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 6.3.2

Умножим

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 6.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.3.2

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.3.3

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.3.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.3.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.3.3.6

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.3.6.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 6.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 7

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение

\cot (θ)

$\cot (θ)$ .

\cot (θ) = \frac{adj}{opp}

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

\cot (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Этап 7.3

Упростим значение

\cot (θ)

$\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{1}

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Этап 7.3.2

Разделим

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ на

1

$1$ .

\cot (θ) = \sqrt{3}

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

\cot (θ) = \sqrt{3}

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

\cot (θ) = \sqrt{3}

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Этап 8

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение

\sec (θ)

$\sec (θ)$ .

\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

\sec (θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}

$\sec (θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим значение

\sec (θ)

$\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

\sec (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}

$\sec (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Умножим

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\sec (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})

$\sec (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение

\csc (θ)

$\csc (θ)$ .

\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

\csc (θ) = \frac{2}{- 1}

$\csc (θ) = \frac{2}{- 1}$

Этап 9.3

Разделим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

\csc (θ) = - 2

$\csc (θ) = - 2$

\csc (θ) = - 2

$\csc (θ) = - 2$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

\sin (θ) = - \frac{1}{2}

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

\cot (θ) = \sqrt{3}

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

\csc (θ) = - 2

$\csc (θ) = - 2$