Тригонометрия Примеры

3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2

Заменим

3 \sin^{2} (x)

$3 \sin^{2} (x)$ на

3 (1 - \cos^{2} (x))

$3 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества

\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3.2

Умножим

3

$3$ на

1

$1$ .

3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 3.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

3

$3$ .

3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4

Вычтем

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ из

- 3 \cos^{2} (x)

$- 3 \cos^{2} (x)$ .

3 - 4 \cos^{2} (x) = 0

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5

Упорядочим многочлен.

- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 6

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

- 4 \cos^{2} (x) = - 3

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Этап 7

Разделим каждый член

- 4 \cos^{2} (x) = - 3

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ на

- 4

$- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член

- 4 \cos^{2} (x) = - 3

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ на

- 4

$- 4$ .

\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель

- 4

$- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.2.1.2

Разделим

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ на

1

$1$ .

\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 9

Упростим

\pm \sqrt{\frac{3}{4}}

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для

x

$x$ .

\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 12

Решим относительно

x

$x$ в

\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 12.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение

\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ :

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Этап 12.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = 2 π - \frac{π}{6}

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 12.4

Упростим

2 π - \frac{π}{6}

$2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Чтобы записать

2 π

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 12.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Объединим

2 π

$2 π$ и

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 12.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 12.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.3.1

Умножим

6

$6$ на

2

$2$ .

x = \frac{12 π - π}{6}

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 12.4.3.2

Вычтем

π

$π$ из

12 π

$12 π$ .

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 12.5

Найдем период

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.5.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 12.6

Период функции

\cos (x)

$\cos (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 13

Решим относительно

x

$x$ в

\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение

\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ :

\frac{5 π}{6}

$\frac{5 π}{6}$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 13.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

2 π

$2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

x = 2 π - \frac{5 π}{6}

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 13.4

Упростим

2 π - \frac{5 π}{6}

$2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Чтобы записать

2 π

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 13.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим

2 π

$2 π$ и

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 13.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Умножим

6

$6$ на

2

$2$ .

x = \frac{12 π - 5 π}{6}

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 13.4.3.2

Вычтем

5 π

$5 π$ из

12 π

$12 π$ .

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 13.5

Найдем период

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 13.6

Период функции

\cos (x)

$\cos (x)$ равен

2 π

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

2 π

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 14

Перечислим все решения.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 15

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим

\frac{π}{6} + 2 π n

$\frac{π}{6} + 2 π n$ и

\frac{7 π}{6} + 2 π n

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ в

\frac{π}{6} + π n

$\frac{π}{6} + π n$ .

x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 15.2

Объединим

\frac{11 π}{6} + 2 π n

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ и

\frac{5 π}{6} + 2 π n

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ в

\frac{5 π}{6} + π n

$\frac{5 π}{6} + π n$ .

x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого

n

$n$