Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{π}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\tan (\frac{π \cdot 2}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\tan (\frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{12})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\tan (\frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

Этап 5.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\tan (\frac{2 π + 3 \cdot π}{12})$

Этап 5.3

Добавим $2 π$ и $3 π$ .

$\tan (\frac{5 π}{12})$

Этап 6

Точное значение $\tan (\frac{5 π}{12})$ : $2 + \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим $\frac{5 π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Этап 6.2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 6.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 6.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 6.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 6.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Этап 6.7

Упростим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Умножим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2

Объединим.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Этап 6.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Этап 6.7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Этап 6.7.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Этап 6.7.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Этап 6.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Этап 6.7.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 6.7.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Этап 6.7.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Этап 6.7.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 6.7.6

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 6.7.7

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Этап 6.7.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.7.9

Упростим.

$\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.10.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.10.2

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.10.3

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Этап 6.7.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Этап 6.7.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Этап 6.7.11

Перепишем ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.12

Развернем $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.7.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.13.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.7.13.1.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.7.13.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Этап 6.7.13.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Этап 6.7.13.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Этап 6.7.13.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Этап 6.7.13.2

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.7.13.3

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.7.14

Сократим общий множитель $12 + 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.14.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Этап 6.7.14.2

Вынесем множитель $6$ из $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.14.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Этап 6.7.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.14.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Этап 6.7.14.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Этап 6.7.14.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Этап 6.7.14.4.4

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$3.73205080 \dots$