Тригонометрия Примеры

$\sin (\frac{11 π}{12})$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{11 π}{12}$ можно разделить на $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Используем формулу синуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\sin (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.4

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.4.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 4.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.8

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$0.25881904 \dots$