Тригонометрия Примеры

\tan (\cos^{-1} (2 x))

$\tan (\cos^{-1} (2 x))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})

$(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ ,

(2 x, 0)

$(2 x, 0)$ и начале координат. Тогда

\cos^{-1} (2 x)

$\cos^{-1} (2 x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})

$(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ . Следовательно,

\tan (\cos^{-1} (2 x))

$\tan (\cos^{-1} (2 x))$ равно

\frac{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}{2 x}

$\frac{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}{2 x}$ .

\frac{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}{2 x}

$\frac{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}}{2 x}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}{2 x}

$\frac{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}{2 x}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 1

$a = 1$ и

b = 2 x

$b = 2 x$ .

\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}{2 x}

$\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}{2 x}$

Этап 2.3

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{2 x}

$\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{2 x}$

\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{2 x}

$\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{2 x}$