Тригонометрия Примеры

tan (22.5)

$\tan (22.5)$

Этап 1

Представим

22.5

$22.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

2

$2$ .

tan (\frac{45}{2})

$\tan (\frac{45}{2})$

Этап 2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

\pm \sqrt{\frac{1 - cos (45)}{1 + cos (45)}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$

Этап 3

Заменим

\pm

$\pm$ на

+

$+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

\sqrt{\frac{1 - cos (45)}{1 + cos (45)}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$

Этап 4

Упростим

\sqrt{\frac{1 - cos (45)}{1 + cos (45)}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение

cos (45)

$\cos (45)$ :

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (45)}}

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}$

Этап 4.2

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (45)}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + cos (45)}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}$

Этап 4.4

Точное значение

cos (45)

$\cos (45)$ :

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.5

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Сократим общий множитель.

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 4.8.2

Перепишем это выражение.

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 4.9

Умножим

\frac{1}{2 + \sqrt{2}}

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на

\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Этап 4.10

Умножим

\frac{1}{2 + \sqrt{2}}

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на

\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Этап 4.11

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 4.12

Упростим.

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.13

Применим свойство дистрибутивности.

\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.14

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Сократим общий множитель.

\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.14.2

Перепишем это выражение.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.15

Объединим

\frac{2 - \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.16.2

Умножим

- \sqrt{2} \sqrt{2}

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.2.1

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Этап 4.16.2.2

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Этап 4.16.2.3

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Этап 4.16.2.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Этап 4.16.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.3.1

Перепишем

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.3.1.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в виде

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Этап 4.16.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Этап 4.16.3.1.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Этап 4.16.3.1.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Этап 4.16.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Этап 4.16.3.1.5

Найдем экспоненту.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.16.3.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Этап 4.16.4

Сократим общий множитель

2 \sqrt{2} - 2

$2 \sqrt{2} - 2$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.4.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \sqrt{2}

$2 \sqrt{2}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Этап 4.16.4.2

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 2

$- 2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Этап 4.16.4.3

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)

$2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Этап 4.16.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.4.4.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Этап 4.16.4.4.2

Сократим общий множитель.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Этап 4.16.4.4.3

Перепишем это выражение.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Этап 4.16.4.4.4

Разделим

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2} - 1$ на

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Этап 4.16.5

Применим свойство дистрибутивности.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Этап 4.16.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Этап 4.17

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Этап 4.18

Вычтем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ из

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ .

\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

0.41421356 \dots

$0.41421356 \dots$