Тригонометрия Примеры

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Этап 1

Разложим $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan^{5} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $- 9 \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ .

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

Этап 1.2

Перепишем $\tan^{4} (x)$ в виде ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

Этап 1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \tan^{2} (x)$ и $b = 3$ .

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 3.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 3.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\tan^{2} (x) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan^{2} (x) + 3$ к $0$ .

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\tan^{2} (x) = - 3$

Этап 4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 4.2.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Этап 4.2.6

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

Этап 4.2.6.2

Обратная к тангенсу $\arctan (i \sqrt{3})$ не определена.

Неопределенные

Этап 4.2.7

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

Этап 4.2.7.2

Обратная к тангенсу $\arctan (- i \sqrt{3})$ не определена.

Неопределенные

Этап 4.2.8

Перечислим все решения.

Нет решения

Этап 5

Приравняем $\tan^{2} (x) - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\tan^{2} (x) - 3$ к $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\tan^{2} (x) = 3$

Этап 5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Этап 5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Этап 5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 5.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 5.2.5

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 5.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.3

$x = π + \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.4

Упростим $π + \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.2.5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 5.2.5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.4.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 5.2.5.4.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 5.2.5.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.5.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.5.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.5.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.6

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 5.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.6.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 5.2.6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 5.2.6.4.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.6.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 5.2.6.6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.2.6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.2.6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.6.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 5.2.6.6.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2.6.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Объединим $\frac{π}{3} + π n$ и $\frac{4 π}{3} + π n$ в $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8.2

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{2 π}{3} + π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$