Тригонометрия Примеры

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$

Этап 1

Разделим каждый член $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 (1 - \cos^{2} (x)) = \frac{3}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $1 - \cos^{2} (x)$ на $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{\frac{3}{2}}{2}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 2

Перенесем все члены без $\cos (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 1 \cdot 4}{4}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{3 - 4}{4}$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$- \cos^{2} (x) = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Разделим каждый член $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \cos^{2} (x) = - \frac{1}{4}$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Этап 3.2.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos^{2} (x) = \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Этап 3.3.2

Разделим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $60$ .

$x = 60$

Этап 8.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 360 - 60$

Этап 8.4

Вычтем $60$ из $360$ .

$x = 300$

Этап 8.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 8.6

Период функции $\cos (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $120$ .

$x = 120$

Этап 9.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 360 - 120$

Этап 9.4

Вычтем $120$ из $360$ .

$x = 240$

Этап 9.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 9.6

Период функции $\cos (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $60 + 360 n$ и $240 + 360 n$ в $60 + 180 n$ .

$x = 60 + 180 n, 300 + 360 n, 120 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Объединим $300 + 360 n$ и $120 + 360 n$ в $120 + 180 n$ .

$x = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , для любого целого $n$