Тригонометрия Примеры

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2

Умножим $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2.2

Объединим $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Этап 1.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

Этап 1.1.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.2

Разделим дроби.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.4

Разделим $2 (\sin (x))$ на $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1.2.5

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $2 \sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

Этап 2.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan^{1} (x)$ .

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1 = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1$ .

$\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 180 + 0$

Этап 4.2.4

Добавим $180$ и $0$ .

$x = 180$

Этап 4.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 4.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$x = 180 n, 180 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- 30$ .

$x = - 30$

Этап 5.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 360 + 30 + 180$

Этап 5.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 30 + 180 °$ .

$x = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Этап 5.2.6.2

Результирующий угол $210 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 30 + 180$ на полный оборот.

$x = 210 °$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.8

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Добавим $360$ к $- 30$ , чтобы найти положительный угол.

$- 30 + 360$

Этап 5.2.8.2

Вычтем $30$ из $360$ .

$330$

Этап 5.2.8.3

Перечислим новые углы.

$x = 330$

Этап 5.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 180 n, 180 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $180 n$ и $180 + 180 n$ в $180 n$ .

$x = 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$