Тригонометрия Примеры

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $8 \sin (θ)$ к обеим частям уравнения.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

Этап 1.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

Этап 2

Упростим $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $- 24 \sin (θ)$ и $8 \sin (θ)$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из $- 10$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Этап 3

Заменим $9 \cos^{2} (θ)$ на $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Этап 4.2

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Этап 5

Вычтем $16$ из $9$ .

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

Этап 6

Упорядочим многочлен.

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

Этап 7

Подставим $u$ вместо $\sin (θ)$ .

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 u^{2}$ .

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 16 u$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

Этап 8.1.3

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 u^{2}) - (16 u)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 u$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Этап 8.2.1.1.2

Запишем $16$ как $7$ плюс $9$

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

Этап 8.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Этап 8.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Этап 8.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

Этап 8.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u + 7$ .

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $9 u + 7$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $9 u + 7$ к $0$ .

$9 u + 7 = 0$

Этап 10.2

Решим $9 u + 7 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$9 u = - 7$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $9 u = - 7$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $9 u = - 7$ на $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 7}{9}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{7}{9}$

Этап 11

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

Этап 13

Подставим $\sin (θ)$ вместо $u$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

Этап 14

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

Этап 15

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

Этап 15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{7}{9})$ .

$θ = - 51.05755873$

Этап 15.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

Этап 15.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 51.05755873 + 180 °$ .

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

Этап 15.4.2

Результирующий угол $231.05755873 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 51.05755873 + 180$ на полный оборот.

$θ = 231.05755873 °$

Этап 15.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 15.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 15.6

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Добавим $360$ к $- 51.05755873$ , чтобы найти положительный угол.

$- 51.05755873 + 360$

Этап 15.6.2

Вычтем $51.05755873$ из $360$ .

$308.94244126$

Этап 15.6.3

Перечислим новые углы.

$θ = 308.94244126$

Этап 15.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- 1)$

Этап 16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- 90$ .

$θ = - 90$

Этап 16.3

$θ = 360 + 90 + 180$

Этап 16.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Этап 16.4.2

Результирующий угол $270 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 90 + 180$ на полный оборот.

$θ = 270 °$

Этап 16.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 16.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 16.6

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Добавим $360$ к $- 90$ , чтобы найти положительный угол.

$- 90 + 360$

Этап 16.6.2

Вычтем $90$ из $360$ .

$270$

Этап 16.6.3

Перечислим новые углы.

$θ = 270$

Этап 16.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 17

Перечислим все решения.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 18

Объединим $270 + 360 n$ и $270 + 360 n$ в $270 + 360 n$ .

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ , для любого целого $n$