Тригонометрия Примеры



\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 15 c = a = & 9 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = C = & 106 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 15 \\ c = \\ a = & 9 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 106 \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Используем теорему косинусов, чтобы найти неизвестную сторону треугольника по двум другим сторонам и прилежащему углу.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (C)

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Этап 2

Решим уравнение.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b cos (C)}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Этап 3

Подставим известные значения в уравнение.

c = \sqrt{{(9)}^{2} + {(15)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 15 cos (106)}

$c = \sqrt{{(9)}^{2} + {(15)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 15 \cos (106)}$

Этап 4

Упростим результаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем

9

$9$ в степень

2

$2$ .

c = \sqrt{81 + {(15)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot (15 cos (106))}

$c = \sqrt{81 + {(15)}^{2} - 2 \cdot 9 \cdot (15 \cos (106))}$

Этап 4.2

Возведем

15

$15$ в степень

2

$2$ .

c = \sqrt{81 + 225 - 2 \cdot 9 \cdot (15 cos (106))}

$c = \sqrt{81 + 225 - 2 \cdot 9 \cdot (15 \cos (106))}$

Этап 4.3

Умножим

- 2 \cdot 9 \cdot 15

$- 2 \cdot 9 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим

- 2

$- 2$ на

9

$9$ .

c = \sqrt{81 + 225 - 18 \cdot (15 cos (106))}

$c = \sqrt{81 + 225 - 18 \cdot (15 \cos (106))}$

Этап 4.3.2

Умножим

- 18

$- 18$ на

15

$15$ .

c = \sqrt{81 + 225 - 270 cos (106)}

$c = \sqrt{81 + 225 - 270 \cos (106)}$

c = \sqrt{81 + 225 - 270 cos (106)}

$c = \sqrt{81 + 225 - 270 \cos (106)}$

Этап 4.4

Найдем значение

cos (106)

$\cos (106)$ .

c = \sqrt{81 + 225 - 270 \cdot - 0.27563735}

$c = \sqrt{81 + 225 - 270 \cdot - 0.27563735}$

Этап 4.5

Умножим

$- 270$ на

$- 0.27563735$ .

$c = \sqrt{81 + 225 + 74.42208607}$

Этап 4.6

Добавим

$81$ и

$225$ .

$c = \sqrt{306 + 74.42208607}$

Этап 4.7

Добавим

$306$ и

$74.42208607$ .

$c = \sqrt{380.42208607}$

Этап 4.8

Найдем значение корня.

$c = 19.50441196$

Этап 5

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 6

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти

$A$ .

$\frac{\sin (A)}{9} = \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Этап 7

Решим уравнение относительно

$A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на

$9$ .

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{\sin (A)}{9} = 9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = 9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим

$9 \frac{\sin (106)}{19.50441196}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Найдем значение

$\sin (106)$ .

$\sin (A) = 9 (\frac{0.96126169}{19.50441196})$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим

$0.96126169$ на

$19.50441196$ .

$\sin (A) = 9 \cdot 0.04928432$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим

$9$ на

$0.04928432$ .

$\sin (A) = 0.44355888$

Этап 7.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$A$ из синуса.

$A = \arcsin (0.44355888)$

Этап 7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Найдем значение

$\arcsin (0.44355888)$ .

$A = 26.33117358$

Этап 7.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

$180$ и найдем решение во втором квадранте.

$A = 180 - 26.33117358$

Этап 7.6

Вычтем

$26.33117358$ из

$180$ .

$A = 153.66882641$

Этап 7.7

Решение уравнения

$A = 26.33117358$ .

$A = 26.33117358, 153.66882641$

Этап 7.8

Исключим недопустимый угол.

$A = 26.33117358$

Этап 8

Сумма всех углов треугольника составляет

$180$ градусов.

$26.33117358 + 106 + B = 180$

Этап 9

Решим уравнение относительно

$B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим

$26.33117358$ и

$106$ .

$132.33117358 + B = 180$

Этап 9.2

Перенесем все члены без

$B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем

$132.33117358$ из обеих частей уравнения.

$B = 180 - 132.33117358$

Этап 9.2.2

Вычтем

$132.33117358$ из

$180$ .

$B = 47.66882641$

Этап 10

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 26.33117358$

$B = 47.66882641$

$C = 106$

$a = 9$

$b = 15$

$c = 19.50441196$