Тригонометрия Примеры

\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Этап 1

Начнем с правой части.

\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Этап 2

Так как

\cot (- A)

$\cot (- A)$ — нечетная функция, перепишем

\cot (- A)

$\cot (- A)$ в виде

- \cot (A)

$- \cot (A)$ .

\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) - \cot (A)

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) - \cot (A)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

\tan (A) \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)

$\tan (A) \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Этап 4

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем

\tan (A)

$\tan (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Этап 4.2

Запишем

\cot (A)

$\cot (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \cot (A)

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \cot (A)$

Этап 4.3

Запишем

\cot (A)

$\cot (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к

\frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot 1 + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot 1 + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.2

Умножим

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ на

1

$1$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.3

Объединим.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Сократим общий множитель

\sin (A)

$\sin (A)$ и

{\sin (A)}^{2}

${\sin (A)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Вынесем множитель

\sin (A)

$\sin (A)$ из

\sin (A) {\cos (A)}^{2}

$\sin (A) {\cos (A)}^{2}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.2.1

Вынесем множитель

\sin (A)

$\sin (A)$ из

\cos (A) {\sin (A)}^{2}

$\cos (A) {\sin (A)}^{2}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4.2

Сократим общий множитель

{\cos (A)}^{2}

${\cos (A)}^{2}$ и

\cos (A)

$\cos (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Вынесем множитель

\cos (A)

$\cos (A)$ из

{\cos (A)}^{2}

${\cos (A)}^{2}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.2.1

Вынесем множитель

\cos (A)

$\cos (A)$ из

\cos (A) \sin (A)

$\cos (A) \sin (A)$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) (\sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) (\sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) - \cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) - \cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 5.3

Вычтем

\cos (A)

$\cos (A)$ из

\cos (A)

$\cos (A)$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{0}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{0}{\sin (A)}$

Этап 5.4

Разделим

0

$0$ на

\sin (A)

$\sin (A)$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + 0

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + 0$

Этап 5.5

Добавим

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ и

0

$0$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Этап 6

Перепишем

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ в виде

\tan (A)

$\tan (A)$ .

\tan (A)

$\tan (A)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$ — тождество