Тригонометрия Примеры

Risolvere per x in Radianti cos(x)^2+sin(x)=1
cos2(x)+sin(x)=1cos2(x)+sin(x)=1
Этап 1
Вычтем 11 из обеих частей уравнения.
cos2(x)+sin(x)-1=0cos2(x)+sin(x)1=0
Этап 2
Упростим cos2(x)+sin(x)-1cos2(x)+sin(x)1.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Перенесем -11.
cos2(x)-1+sin(x)=0cos2(x)1+sin(x)=0
Этап 2.2
Изменим порядок cos2(x)cos2(x) и -11.
-1+cos2(x)+sin(x)=01+cos2(x)+sin(x)=0
Этап 2.3
Перепишем -11 в виде -1(1)1(1).
-1(1)+cos2(x)+sin(x)=01(1)+cos2(x)+sin(x)=0
Этап 2.4
Вынесем множитель -11 из cos2(x)cos2(x).
-1(1)-1(-cos2(x))+sin(x)=01(1)1(cos2(x))+sin(x)=0
Этап 2.5
Вынесем множитель -11 из -1(1)-1(-cos2(x))1(1)1(cos2(x)).
-1(1-cos2(x))+sin(x)=01(1cos2(x))+sin(x)=0
Этап 2.6
Перепишем -1(1-cos2(x))1(1cos2(x)) в виде -(1-cos2(x))(1cos2(x)).
-(1-cos2(x))+sin(x)=0(1cos2(x))+sin(x)=0
Этап 2.7
Применим формулу Пифагора.
-sin2(x)+sin(x)=0sin2(x)+sin(x)=0
-sin2(x)+sin(x)=0sin2(x)+sin(x)=0
Этап 3
Решим относительно xx.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Пусть u=sin(x)u=sin(x). Подставим uu вместо sin(x)sin(x) для всех.
-u2+u=0u2+u=0
Этап 3.1.2
Вынесем множитель uu из -u2+uu2+u.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Вынесем множитель uu из -u2u2.
u(-u)+u=0u(u)+u=0
Этап 3.1.2.2
Возведем uu в степень 11.
u(-u)+u=0u(u)+u=0
Этап 3.1.2.3
Вынесем множитель uu из u1u1.
u(-u)+u1=0u(u)+u1=0
Этап 3.1.2.4
Вынесем множитель uu из u(-u)+u1u(u)+u1.
u(-u+1)=0u(u+1)=0
u(-u+1)=0u(u+1)=0
Этап 3.1.3
Заменим все вхождения uu на sin(x)sin(x).
sin(x)(-sin(x)+1)=0sin(x)(sin(x)+1)=0
sin(x)(-sin(x)+1)=0sin(x)(sin(x)+1)=0
Этап 3.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен 00, все выражение равно 00.
sin(x)=0sin(x)=0
-sin(x)+1=0sin(x)+1=0
Этап 3.3
Приравняем sin(x)sin(x) к 00, затем решим относительно xx.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Приравняем sin(x)sin(x) к 00.
sin(x)=0sin(x)=0
Этап 3.3.2
Решим sin(x)=0sin(x)=0 относительно xx.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь xx из синуса.
x=arcsin(0)x=arcsin(0)
Этап 3.3.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.2.1
Точное значение arcsin(0)arcsin(0): 00.
x=0x=0
x=0x=0
Этап 3.3.2.3
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из ππ и найдем решение во втором квадранте.
x=π-0x=π0
Этап 3.3.2.4
Вычтем 00 из ππ.
x=πx=π
Этап 3.3.2.5
Найдем период sin(x)sin(x).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле 2π|b|2π|b|.
2π|b|2π|b|
Этап 3.3.2.5.2
Заменим b на 1 в формуле периода.
2π|1|
Этап 3.3.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 0 и 1 равно 1.
2π1
Этап 3.3.2.5.4
Разделим 2π на 1.
2π
2π
Этап 3.3.2.6
Период функции sin(x) равен 2π. Поэтому значения повторяются через каждые 2π рад. в обоих направлениях.
x=2πn,π+2πn, для любого целого n
x=2πn,π+2πn, для любого целого n
x=2πn,π+2πn, для любого целого n
Этап 3.4
Приравняем -sin(x)+1 к 0, затем решим относительно x.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Приравняем -sin(x)+1 к 0.
-sin(x)+1=0
Этап 3.4.2
Решим -sin(x)+1=0 относительно x.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.1
Вычтем 1 из обеих частей уравнения.
-sin(x)=-1
Этап 3.4.2.2
Разделим каждый член -sin(x)=-1 на -1 и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.2.1
Разделим каждый член -sin(x)=-1 на -1.
-sin(x)-1=-1-1
Этап 3.4.2.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
sin(x)1=-1-1
Этап 3.4.2.2.2.2
Разделим sin(x) на 1.
sin(x)=-1-1
sin(x)=-1-1
Этап 3.4.2.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.2.3.1
Разделим -1 на -1.
sin(x)=1
sin(x)=1
sin(x)=1
Этап 3.4.2.3
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь x из синуса.
x=arcsin(1)
Этап 3.4.2.4
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.4.1
Точное значение arcsin(1): π2.
x=π2
x=π2
Этап 3.4.2.5
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из π и найдем решение во втором квадранте.
x=π-π2
Этап 3.4.2.6
Упростим π-π2.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.6.1
Чтобы записать π в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 22.
x=π22-π2
Этап 3.4.2.6.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.6.2.1
Объединим π и 22.
x=π22-π2
Этап 3.4.2.6.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
x=π2-π2
x=π2-π2
Этап 3.4.2.6.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.6.3.1
Перенесем 2 влево от π.
x=2π-π2
Этап 3.4.2.6.3.2
Вычтем π из 2π.
x=π2
x=π2
x=π2
Этап 3.4.2.7
Найдем период sin(x).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.7.1
Период функции можно вычислить по формуле 2π|b|.
2π|b|
Этап 3.4.2.7.2
Заменим b на 1 в формуле периода.
2π|1|
Этап 3.4.2.7.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 0 и 1 равно 1.
2π1
Этап 3.4.2.7.4
Разделим 2π на 1.
2π
2π
Этап 3.4.2.8
Период функции sin(x) равен 2π. Поэтому значения повторяются через каждые 2π рад. в обоих направлениях.
x=π2+2πn, для любого целого n
x=π2+2πn, для любого целого n
x=π2+2πn, для любого целого n
Этап 3.5
Окончательным решением являются все значения, при которых sin(x)(-sin(x)+1)=0 верно.
x=2πn,π+2πn,π2+2πn, для любого целого n
x=2πn,π+2πn,π2+2πn, для любого целого n
Этап 4
Объединим 2πn и π+2πn в πn.
x=πn,π2+2πn, для любого целого n
 [x2  12  π  xdx ]