Тригонометрия Примеры

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\cot (θ)$ через синусы и косинусы.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Этап 2.2

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$1 + \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Этап 2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.4

Умножим $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ на $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.5.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.6.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Этап 2.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Этап 2.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ в виде $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$ — тождество