Тригонометрия Примеры

sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$

Этап 1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь

θ

$θ$ из-под знака секанса.

\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение

arcsec (- 2)

$arcsec (- 2)$ :

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ .

\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим

\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.3

Умножим

$3$ на

$3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Этап 5

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

$2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Решим относительно

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на

$\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим

$\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим

$2 π$ и

$\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Умножим

$3$ на

$2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вычтем

$2 π$ из

$6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Умножим

$4$ на

$2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.2.1.4.3

Умножим

$3$ на

$3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Этап 7

Найдем период

$\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим

$b$ на

$\frac{3}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{3}{2}$ приблизительно равно

$1.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{3}$

Этап 7.5

Умножим

$2 π \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим

$\frac{2}{3}$ и

$2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Этап 7.5.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$\frac{4}{3} π$

Этап 7.5.3

Объединим

$\frac{4}{3}$ и

$π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 8

Период функции

$\sec (\frac{3 θ}{2})$ равен

$\frac{4 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$\frac{4 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , для любого целого

$n$