Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{π}{3})$

Этап 1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 5.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{4}}$

Этап 5.5

Добавим $0$ и $\frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5.6

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{1}{2}$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1}{2}})$

Этап 7

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{\frac{1}{2}}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $0$ .

$θ = 0$

Этап 8

Подставим значения $θ = 0$ и $| z | = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$