Тригонометрия Примеры

$2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \sin (\frac{π}{3} x) = \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{3} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{3} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{π}{3} x)$ на $1$ .

$\sin (\frac{π}{3} x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{π}{3} x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{π}{3}$ и $x$ .

$\frac{π x}{3} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π x}{3} = \frac{π}{4}$

Этап 5

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 6.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 6.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 6.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 6.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $\frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π}{4}$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (\frac{1}{4})$

Этап 6.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{π x}{3} = π - \frac{π}{4}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Этап 8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Этап 8.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Этап 8.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Этап 8.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Этап 8.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $\frac{3}{π} (π - \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3}{π} (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 8.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{3}{π} (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Этап 8.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 8.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 8.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{3 π}{4}$

Этап 8.2.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{4}$

Этап 8.2.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{π} \cdot \frac{π \cdot 3}{4}$

Этап 8.2.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 3 (\frac{3}{4})$

Этап 8.2.2.1.4.2

Объединим $3$ и $\frac{3}{4}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4}$

Этап 8.2.2.1.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{9}{4}$

Этап 9

Найдем период $\sin (\frac{π}{3} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Этап 9.3

$\frac{π}{3}$ приблизительно равно $1.04719755$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{π}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Этап 9.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 3$

Этап 9.6

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 10

Период функции $\sin (\frac{π}{3} x)$ равен $6$ . Поэтому значения повторяются через каждые $6$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3}{4} + 6 n, \frac{9}{4} + 6 n$ , для любого целого $n$