Тригонометрия Примеры

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 = 7$

Этап 1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 10 - 7 = 0$

Этап 2

Вычтем $7$ из $10$ .

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 \tan (θ)$ .

$8 \tan^{2} (θ) + 10 \tan (θ) + 3 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $10$ как $4$ плюс $6$

$8 \tan^{2} (θ) + (4 + 6) \tan (θ) + 3 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$8 \tan^{2} (θ) + 4 \tan (θ) + 6 \tan (θ) + 3 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 \tan (θ) (2 \tan (θ) + 1) + 3 (2 \tan (θ) + 1) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \tan (θ) + 1$ .

$(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

Этап 5

Приравняем $2 \tan (θ) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \tan (θ) + 1$ к $0$ .

$2 \tan (θ) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \tan (θ) + 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \tan (θ) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \tan (θ) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \tan (θ) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$θ = - 26.56505117$

Этап 5.2.5

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - 26.56505117 - 180$

Этап 5.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Добавим $360 °$ к $- 26.56505117 - 180 °$ .

$θ = - 26.56505117 - 180 ° + 360 °$

Этап 5.2.6.2

Результирующий угол $153.43494882 °$ является положительным и отличается от $- 26.56505117 - 180$ на полный оборот.

$θ = 153.43494882 °$

Этап 5.2.7

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 5.2.8

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Добавим $180$ к $- 26.56505117$ , чтобы найти положительный угол.

$- 26.56505117 + 180$

Этап 5.2.8.2

Вычтем $26.56505117$ из $180$ .

$153.43494882$

Этап 5.2.8.3

Перечислим новые углы.

$θ = 153.43494882$

Этап 5.2.9

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 153.43494882 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $4 \tan (θ) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $4 \tan (θ) + 3$ к $0$ .

$4 \tan (θ) + 3 = 0$

Этап 6.2

Решим $4 \tan (θ) + 3 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 \tan (θ) = - 3$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $4 \tan (θ) = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $4 \tan (θ) = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 3}{4}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (θ) = - \frac{3}{4}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- \frac{3}{4})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{3}{4})$ .

$θ = - 36.86989764$

Этап 6.2.5

$θ = - 36.86989764 - 180$

Этап 6.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Добавим $360 °$ к $- 36.86989764 - 180 °$ .

$θ = - 36.86989764 - 180 ° + 360 °$

Этап 6.2.6.2

Результирующий угол $143.13010235 °$ является положительным и отличается от $- 36.86989764 - 180$ на полный оборот.

$θ = 143.13010235 °$

Этап 6.2.7

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 6.2.8

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Добавим $180$ к $- 36.86989764$ , чтобы найти положительный угол.

$- 36.86989764 + 180$

Этап 6.2.8.2

Вычтем $36.86989764$ из $180$ .

$143.13010235$

Этап 6.2.8.3

Перечислим новые углы.

$θ = 143.13010235$

Этап 6.2.9

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 143.13010235 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \tan (θ) + 1) (4 \tan (θ) + 3) = 0$ верно.

$θ = 153.43494882 + 180 n, 143.13010235 + 180 n$ , для любого целого $n$