Тригонометрия Примеры

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $4 \sin (θ)$ к обеим частям уравнения.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Этап 1.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $- 17 \sin (θ)$ и $4 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $9$ из $14$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Этап 3.2.2

Запишем $- 13$ как $- 3$ плюс $- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Этап 5

Приравняем $2 \sin (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 \sin (θ) - 1$ к $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 \sin (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (θ) = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $30$ .

$θ = 30$

Этап 5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 30$

Этап 5.2.6

Вычтем $30$ из $180$ .

$θ = 150$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 5.2.8

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $3 \sin (θ) - 5$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 \sin (θ) - 5$ к $0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $3 \sin (θ) - 5 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin (θ) = 5$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (θ) = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (θ) = 5$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

Этап 6.2.3

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{5}{3}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ верно.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , для любого целого $n$