Тригонометрия Примеры

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 = - 5 \tan (θ)$

Этап 1

Добавим $5 \tan (θ)$ к обеим частям уравнения.

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 + 5 \tan (θ) = 0$

Этап 2

Добавим $- 10 \tan (θ)$ и $5 \tan (θ)$ .

$6 \tan^{2} (θ) + 1 - 5 \tan (θ) = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

Этап 3.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 \tan (θ)$ .

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

Этап 3.2.2

Запишем $- 5$ как $- 2$ плюс $- 3$

$6 \tan^{2} (θ) + (- 2 - 3) \tan (θ) + 1 = 0$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

Этап 3.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 \tan (θ) (3 \tan (θ) - 1) - (3 \tan (θ) - 1) = 0$

Этап 3.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 \tan (θ) - 1$ .

$(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $3 \tan (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 \tan (θ) - 1$ к $0$ .

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 \tan (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 \tan (θ) = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 \tan (θ) = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 \tan (θ) = 1$ на $3$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (\frac{1}{3})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{3})$ .

$θ = 18.43494882$

Этап 5.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 180 + 18.43494882$

Этап 5.2.6

Добавим $180$ и $18.43494882$ .

$θ = 198.43494882$

Этап 5.2.7

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 5.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \tan (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \tan (θ) - 1$ к $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \tan (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \tan (θ) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \tan (θ) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \tan (θ) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

Этап 6.2.5

$θ = 180 + 26.56505117$

Этап 6.2.6

Добавим $180$ и $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Этап 6.2.7

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 6.2.8

Период функции $\tan (θ)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $18.43494882 + 180 n$ и $198.43494882 + 180 n$ в $18.43494882 + 180 n$ .

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $26.56505117 + 180 n$ и $206.56505117 + 180 n$ в $26.56505117 + 180 n$ .

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ , для любого целого $n$