Тригонометрия Примеры

$\tan (x) \sin (x) + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.1.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Разделим дроби.

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x) + 4 \sin (x) = 0$

Этап 1.2.4

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) \tan (x) + 4 \sin (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \tan (x) + 4 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $4 \sin (x)$ .

$\sin (x) \tan (x) + \sin (x) \cdot 4 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \tan (x) + \sin (x) \cdot 4$ .

$\sin (x) (\tan (x) + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\tan (x) + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = 180 - 0$

Этап 4.2.4

Вычтем $0$ из $180$ .

$x = 180$

Этап 4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\tan (x) + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\tan (x) + 4$ к $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $\tan (x) + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 4$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 4)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Найдем значение $\arctan (- 4)$ .

$x = - 75.96375653$

Этап 5.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 75.96375653 - 180$

Этап 5.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $360 °$ к $- 75.96375653 - 180 °$ .

$x = - 75.96375653 - 180 ° + 360 °$

Этап 5.2.5.2

Результирующий угол $104.03624346 °$ является положительным и отличается от $- 75.96375653 - 180$ на полный оборот.

$x = 104.03624346 °$

Этап 5.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{180}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{180}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $180$ на $1$ .

$180$

Этап 5.2.7

Добавим $180$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Добавим $180$ к $- 75.96375653$ , чтобы найти положительный угол.

$- 75.96375653 + 180$

Этап 5.2.7.2

Вычтем $75.96375653$ из $180$ .

$104.03624346$

Этап 5.2.7.3

Перечислим новые углы.

$x = 104.03624346$

Этап 5.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$x = 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (\tan (x) + 4) = 0$ верно.

$x = 360 n, 180 + 360 n, 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $360 n$ и $180 + 360 n$ в $180 n$ .

$x = 180 n, 104.03624346 + 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 7.2

Объединим $104.03624346 + 180 n$ и $104.03624346 + 180 n$ в $104.03624346 + 180 n$ .

$x = 180 n, 104.03624346 + 180 n$ , для любого целого $n$