Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (θ) - 9 = 0$

Этап 1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$\sec^{2} (θ) = 9$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{9}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sec (θ) = \pm 3$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sec (θ) = 3$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sec (θ) = - 3$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sec (θ) = 3, - 3$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sec (θ) = 3$

$\sec (θ) = - 3$

Этап 6

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (3)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $arcsec (3)$ .

$θ = 70.52877936$

Этап 6.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 360 - 70.52877936$

Этап 6.4

Вычтем $70.52877936$ из $360$ .

$θ = 289.47122063$

Этап 6.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 6.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 70.52877936 + 360 n, 289.47122063 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (- 3)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $arcsec (- 3)$ .

$θ = 109.47122063$

Этап 7.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $360$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 - 109.47122063$

Этап 7.4

Вычтем $109.47122063$ из $360$ .

$θ = 250.52877936$

Этап 7.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 7.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$θ = 70.52877936 + 360 n, 289.47122063 + 360 n, 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $70.52877936 + 360 n$ и $250.52877936 + 360 n$ в $70.52877936 + 180 n$ .

$θ = 70.52877936 + 180 n, 289.47122063 + 360 n, 109.47122063 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $289.47122063 + 360 n$ и $109.47122063 + 360 n$ в $109.47122063 + 180 n$ .

$θ = 70.52877936 + 180 n, 109.47122063 + 180 n$ , для любого целого $n$