Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (θ) - 4 = 0$

Этап 1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\csc^{2} (θ) = 4$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{4}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\csc (θ) = \pm 2$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\csc (θ) = 2$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\csc (θ) = - 2$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\csc (θ) = 2, - 2$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\csc (θ) = 2$

$\csc (θ) = - 2$

Этап 6

Решим относительно $θ$ в $\csc (θ) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (2)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $arccsc (2)$ : $30$ .

$θ = 30$

Этап 6.3

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 30$

Этап 6.4

Вычтем $30$ из $180$ .

$θ = 150$

Этап 6.5

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 6.6

Период функции $\csc (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $θ$ в $\csc (θ) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака косеканса.

$θ = arccsc (- 2)$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $arccsc (- 2)$ : $- 30$ .

$θ = - 30$

Этап 7.3

Функция косеканса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 360 + 30 + 180$

Этап 7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

Этап 7.4.2

Результирующий угол $210 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 30 + 180$ на полный оборот.

$θ = 210 °$

Этап 7.5

Найдем период $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 7.6

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Добавим $360$ к $- 30$ , чтобы найти положительный угол.

$- 30 + 360$

Этап 7.6.2

Вычтем $30$ из $360$ .

$330$

Этап 7.6.3

Перечислим новые углы.

$θ = 330$

Этап 7.7

Период функции $\csc (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $30 + 360 n$ и $210 + 360 n$ в $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 360 n, 330 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $150 + 360 n$ и $330 + 360 n$ в $150 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , для любого целого $n$