Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Этап 2

Объединим.

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.2

Умножим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\frac{\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) - \sin (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) \cos (θ)}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- \cos (θ))$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - \cos (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

$\frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (θ)}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)} = \frac{1 - \cos (θ)}{\sin (θ)}$ — тождество