Тригонометрия Примеры

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cot^{2} (x)$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + \cot^{2} (x)$

Этап 3.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Запишем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1}{1}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Запишем $\sin^{2} (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 8

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 9

Запишем $\cos^{2} (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 10

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы записать $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 11

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на ${\cos (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 12

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\frac{\sin^{4} (x) + (1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + (1 - {\cos (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 1 {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.2.2

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.2.3

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на ${\cos (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перенесем ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.2.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} - {\cos (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.2.4

Добавим $- {\cos (x)}^{4}$ и ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2} + 0}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.2.5

Добавим ${\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}$ и $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 13.3

Умножим $\frac{{\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ на $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 14

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 15

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Этап 15.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 15.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 15.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 17

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Чтобы записать $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 17.2

Чтобы записать $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 17.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 17.3.2

Умножим $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Этап 17.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 18

Умножим ${\sin (x)}^{2}$ на ${\sin (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

$\frac{\sin^{4} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 19

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sec^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ — тождество